Фамилия Богрецов — редкий случай, когда за основу взято не имя, не профессия и не внешность, а скорее всего, прозвище, связанное с диалектным словом. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать словообразовательную цепочку: Богрецов — это «сын Богреца», а Богрец — уменьшительная форма от прозвища или имени Богрый.

Исходное слово — «богрый». В русских говорах оно означало «красный, багровый, огненный». Так могли прозвать человека за цвет лица (румянец, багровый от гнева или мороза) либо за рыжий цвет волос. В некоторых областях «богрый» имело переносное значение — «горячий, вспыльчивый». Прозвище Богрый или Богрец, таким образом, описывало внешность или характер. Суффикс -ец (Богрец) — типичный для прозвищ, обозначающих носителя признака: ср. Мудрец, Хитрец, Краснец. Фамилия на -ов образована по стандартной патронимической модели: «чей сын?» — Богрецов.

Менее вероятна, но возможна связь с именем Богдан или Боголеп через сокращение «Бог» + «рец» (как «речь» или «реку»). Однако в таком случае форма была бы Богрецов, а не Богрецов — ударение и гласная не сходятся. Поэтому версия с диалектным «богрый» остаётся основной.

Географически фамилия почти не встречается за пределами центральных и северных областей России — в документах XVII–XIX веков единичные записи есть в Вологодской и Костромской губерниях. В переписных книгах XVII века встречаются крестьяне с прозвищем Богрый, что подтверждает бытование слова в севернорусских говорах.

Сословно носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В современной России фамилия остаётся малочисленной — по открытым данным, её носят не более нескольких сотен человек, в основном в Вологодской области и Москве.

Таким образом, Богрецов — фамилия-характеристика: предок был либо ярким внешне (краснолицым, рыжим), либо обладал крутым нравом, за что и получил прозвище Богрец.