Фамилия Большенко образована по одной из самых распространённых в украинской ономастике моделей — с суффиксом -енко. Этот суффикс, изначально означавший «сын» или «потомок», в XVI–XVII веках стал массово закрепляться за казацкими и крестьянскими родами на Левобережной и Слободской Украине. Так что перед нами типичная украинская фамилия, а не великорусская, несмотря на прозрачную основу.

Основа — «большой». Вряд ли речь идёт о прямом значении «крупный по размеру». Скорее всего, прозвище Большой давали человеку за рост и дородность, но не только. В восточнославянской традиции «большим» нередко называли старшего сына или главу семьи, а в некоторых говорах — начальника, старшину. В казацкой среде прозвище Большой могло закрепиться за атаманом или зажиточным хозяином. Соответственно, Большенко — это «сын Большого», то есть потомок человека с таким прозвищем.

Стоит отметить, что в русских фамилиях на -енко ударение обычно падает на предпоследний слог, но в украинской традиции оно подвижно. В фамилии Большенко ударение чаще ставят на второй слог — Больше́нко, хотя в некоторых регионах говорят и Больше́нко. Это не ошибка, а диалектная особенность.

Фамилия не слишком редкая, но и не массовая. Встречается в основном в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков переселенцев на Кубани и в Ставрополье. В России её носители — чаще всего потомки украинцев, переселявшихся в XVIII–XIX веках.

Интересно, что фамилия Большенко не имеет отношения к русской фамилии Большаков или Большов. Те образованы от прозвища Большак (старший в семье) и закрепились в северных и центральных губерниях России. А Большенко — южная, украинская форма, и это сразу видно по суффиксу.