Фамилия Болших — редкий пример «застывшей» формы родительного падежа множественного числа. Суффикс -их (а в старом написании -ых) указывает на севернорусское или сибирское происхождение: такие фамилии типичны для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний и земель за Уралом. Они отвечали на вопрос «чьи?» и обозначали целый род или семью: Болших — «из семьи Больших».

Основа здесь — прилагательное «большой», но не в прямом значении «великан» или «крупный человек». В древнерусских прозвищах «Большой» часто означало старшего сына, главу рода или просто важного, влиятельного человека. В документах XVI–XVII веков встречаются записи вроде «Ивашко Большой» или «Федька Больших» — так отличали одного носителя имени от другого, особенно в многолюдных крестьянских общинах.

Интересно, что фамилия Болших фиксируется с «о» в корне, хотя нормативное прилагательное — «большой» с ударным «о». Это диалектная черта: в северных говорах «о» после шипящих и перед «л» могло произноситься и писаться без редукции, как слышалось. Поэтому Болших — не ошибка, а живой след местного произношения, которое закрепилось в документах.

В отличие от массовых фамилий на -ов, Болших не указывает на конкретное занятие предка. Она социальная по сути: прозвище выделяло человека среди однофамильцев или соседей. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, жил на Русском Севере или в Сибири, а его род был достаточно заметен в своей среде, чтобы прозвище «Большие» закрепилось за всеми потомками.