Фамилия Борсини звучит нехарактерно для славянского уха, и это первая подсказка. Она не вписывается в типичные русские модели на -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами фамилия итальянского происхождения, и её стоит разбирать в контексте итальянской ономастики, а не русской.

Основа фамилии — Borsi или Borse. В итальянском языке слово «borsa» означает «сумка», «кошелек» или даже «биржа» (в переносном смысле — «место торговли»). Суффикс -ini — это уменьшительно-ласкательный или патронимический формант, очень распространённый в центральной и северной Италии (особенно в Тоскане, Эмилии-Романье, Ломбардии). Он часто указывает на принадлежность к роду или на профессиональную характеристику предка. Таким образом, Борсини можно перевести как «маленькая сумка» или, более вероятно, «сын (или потомок) того, кто делает сумки» или «сын Борсо».

Прозвище Borsa или Borso в средневековой Италии могли дать либо торговцу, который носил с собой кошель, либо ремесленнику-кожевнику, шьющему сумки и кошельки. В некоторых диалектах «borsa» означало и нечто вздутое, округлое — так могли прозвать человека с заметной особенностью фигуры, но профессиональная версия выглядит убедительнее. Фамилия фиксируется в исторических записях: например, род Борсини из Сиены (XIV век) или художник Антонио Борсини, работавший в Ферраре.

Что касается бытования в России, то это, скорее всего, результат миграции. Фамилия могла попасть в русскоязычную среду через итальянских архитекторов, художников, ремесленников, приезжавших в Российскую империю в XVIII–XIX веках. Встречается она и в современной России крайне редко, в основном в крупных городах, и сохраняет ударение на последнем слоге — Борсини́, как в итальянском. Если вы ищете свои корни, имеет смысл смотреть в сторону итальянских архивов, а не русских переписных книг.