Фамилию Босецкая стоит разбирать, отталкиваясь не от корня, а от модели образования: типичный женский вариант на -ая, образованный от мужской фамилии Босецкий. А та, в свою очередь, — типичная польская или западнорусская фамилия с суффиксом -ецк-/-цк-, указывающим на дворянское или шляхетское происхождение, а чаще — на географическое название места, откуда был родом первый носитель.

Основа «Бос-» в славянских языках чаще всего связана с прилагательным «босый» — то есть босоногий, необутый. В польском языке «bosy» означает то же самое. Прозвище Босый могли дать человеку, который ходил без обуви, либо бедняку, не имевшему сапог, либо тому, кто по каким-то причинам не носил обувь даже в холод. От этого прозвища и возникла фамилия: Босый → Босецкий (с суффиксом принадлежности или уменьшительности) → Босецкая.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — топонимическая. В Польше и в западных областях современной Беларуси и Украины есть несколько небольших населенных пунктов с корнем «Бос-» (например, Бось, Босы). Фамилия Босецкий могла закрепиться за выходцем из такого села или поместья. В таком случае суффикс -цкий играет роль указателя на место: «тот, кто из Босого».

Географически фамилия Босецкая встречается преимущественно в западных регионах бывшей Речи Посполитой: в Польше, на западе Беларуси, на Волыни. В России она редка и чаще всего фиксируется в среде потомков польской шляхты, переселившихся после разделов Польши или в ходе миграций XIX века. Сословно носители фамилии могли быть как мещанами, так и обедневшими дворянами — суффикс -цкий сам по себе не гарантирует шляхетство, но указывает на традицию именования, принятую в этой среде.

Итак, если вы носите фамилию Босецкая, ваши предки скорее всего происходят из западнославянского региона, а прозвище, от которого она образована, было связано либо с отсутствием обуви, либо с названием небольшого местечка.