Фамилия Басецкая — женская форма фамилии Басецкий, и её разумнее всего рассматривать в паре. Это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели, характерной для польской, украинской и белорусской шляхты: основа + суффикс -цк(ий)/-ск(ий). Такую фамилию давали человеку по названию места, откуда он родом или где владел землёй.

Корень здесь — Бас- или Басец-. Самое прямое объяснение: топоним Басец (Basiéc) или Басевичи. В Польше и на западе Беларуси встречаются деревни с названием Басец (например, в Подляском воеводстве) или Басевичи. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище «Басецкий» — то есть «тот, кто из Басеца». Суффикс -цк- в восточнославянских фамилиях часто указывал на дворянское происхождение, но к XIX веку такие фамилии могли носить и крестьяне, и мещане, особенно если они переезжали в другой регион.

Есть и вторая, более редкая версия: от прозвища или имени Бас. В древнерусском языке «бас» означало «красавец, щёголь» или «басня, россказни». В украинском «бас» — это низкий голос, певец. Если бы фамилия образовалась напрямую от такого прозвища, мы бы чаще видели форму Басов/Басев, а не Басецкий. Форма на -цкий указывает именно на местность, поэтому первая версия — основная.

С точки зрения истории написания, фамилия могла фиксироваться по-разному: Басецкая, Басэцкая (в старых польских метриках), а в советское время — с твёрдым окончанием -ая. Географически фамилия тяготеет к западным регионам: Гродненская, Брестская области Беларуси, Подляское воеводство Польши, а также к украинскому Полесью. В России встречается редко, чаще как результат миграции XIX–XX веков.

Так что предки современной Басецкой, скорее всего, были выходцами из небольшого поселения с корнем «Бас-» на территории бывшей Речи Посполитой. Кем они были — шляхтичами или крестьянами — без генеалогического исследования не скажешь, но сам тип фамилии раньше чаще ассоциировался с мелкими землевладельцами.