Фамилия Босевская — женская форма от Босевский, и её разумнее рассматривать в паре с мужским вариантом. В основе лежит прозвище или имя Босой, Бось, Босей. В славянской традиции «босой» — человек, ходящий без обуви, либо, в переносном смысле, бедняк, не имеющий сапог. Однако фамилия могла закрепиться и за тем, кто по роду занятий часто оставался босым: пастух, гонец, работник на реке или болоте.

Суффикс -евск-/-овск- указывает на типично польскую или западнорусскую (белорусскую, украинскую) модель образования фамилий от географических названий или прозвищ с добавлением -ский. Босевский — это, скорее всего, выходец из населённого пункта с корнем Бос- (Босево, Босевка, Босея). Такие топонимы встречаются в Польше и на западе Беларуси. В этом случае фамилия означает «тот, кто родом из Босева» или «принадлежащий к поселению Босево».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с личным именем Босей (уменьшительное от Борис или Богумил). Тогда Босевский — потомок человека по имени Босей, а суффикс -евский превращает отчество в фамилию по шляхетской или дворянской модели. В Речи Посполитой такие фамилии носили не только знатные, но и мещане, и крестьяне, перенимавшие моду у высшего сословия.

Географически фамилия Босевская редкая. Встречается в основном у потомков переселенцев с запада современной России, из Смоленской, Псковской областей, а также у белорусов. В документах XIX — начала XX века носители фамилии числились среди крестьян и однодворцев западных губерний.

Если коротко: ваши предки могли быть либо «босоногими» бедняками, либо выходцами из деревни с названием вроде Босево, а сама фамилия сформировалась по западнославянской модели с суффиксом -ский, что нередко указывает на географическое происхождение, а не на сословную принадлежность.