Фамилия Ботвинская — одна из тех, где сразу видна география. Суффикс -ск- указывает, что перед нами типичная фамилия польского, украинского или белорусского происхождения, образованная от названия места. В таком случае Ботвинские — потомки тех, кто жил в населённом пункте с корнем «ботв-»: селе Ботвино, Ботвин, Ботвины или похожем. Такие поселения встречаются на западе России, в Беларуси и на Украине. По этой модели возникли и соседние фамилии: Ботвиновский, Ботвинцев.

Но есть и вторая, бытовая версия, которая уводит в прозвища. В русских говорах «ботва» — листья и стебли корнеплодов (свёклы, моркови, репы). Человека могли прозвать Ботвой или Ботвином за работу в огороде, худобу (сравнение с ботвой — «длинный и тощий») или за любовь к ботвинье — холодному супу на квасе. От такого прозвища легко образовалась форма Ботвин, а от неё, с тем же суффиксом -ск-, фамилия Ботвинская. Правда, эта версия менее вероятна: фамилии на -ский от прозвищ в крестьянской среде встречаются реже, чем от топонимов.

Форма Ботвинская — женская. Мужской вариант — Ботвинский. В дворянских родословных эта фамилия не засветилась: Ботвинские не входили в столбовые книги, а значит, предки были скорее мещанами или однодворцами. В XIX веке фамилия встречается в Подольской и Минской губерниях, что подтверждает западное происхождение.

Если коротко: ваши предки либо жили в деревне Ботвино, либо получили прозвище от ботвы. Первое правдоподобнее — суффикс -ский редко вырастает из огородного прозвища.