Фамилия Ботяй — редкий случай, когда прозвище стало родовым именем без добавления типичного русского суффикса. В подавляющем большинстве русских фамилий есть форманты -ов, -ев, -ин или -ский. Ботяй же застыла в чистой, «голой» форме, что сразу указывает на её возможное нерусское происхождение или на очень позднюю фиксацию, когда фамилию записали прямо так, как называли человека.

Скорее всего, в основе лежит прозвище от глагола «ботать» — в диалектах это значит «бить, колотить, стучать». В рыболовном промысле «ботать» означало пугать рыбу шестом (ботáлом), загоняя её в сеть. Человек, который этим занимался, мог получить прозвище Ботяй — то есть «тот, кто ботает». Фамилия могла закрепиться за рыбаком на Дону, Волге или в северных губерниях, где был распространён такой лов.

Другая, менее очевидная версия — происхождение от тюркского имени или прозвища. В тюркских языках есть корень «бота» — «верблюжонок». Прозвище Ботяй могли дать маленькому, крикливому или упрямому ребёнку. В пользу этой гипотезы говорит сама форма фамилии без суффикса: для тюркских фамилий это обычное дело, для русских — исключение.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Основной ареал — юг России (Краснодарский край, Ростовская область) и Украина. Встречается также в Беларуси, что может указывать на ещё один, балтский след: от литовского «boti» — «быть», но эта связь слишком туманна и не подтверждается словарями.

Если ваш предок был Ботяй, то с большой вероятностью он либо промышлял рыбу на южных реках, либо носил тюркское прозвище, которое в какой-то момент стало фамилией. Однофамильцы у вас редкие, и фамилия не «размножилась» за счёт типовых суффиксов — это делает её своеобразным маркером конкретной семейной истории, а не массового прозвища.