Фамилия Бовшина — женская форма, а её мужской вариант Бовшин. При взгляде на окончание -ин сразу понятно, что фамилия образована от основы, оканчивающейся на согласный или -а/-я. Такие фамилии в русском языке чаще всего означали принадлежность: «чей?» — «Бовшин», то есть сын или потомок человека по прозвищу Бовша.

Самая вероятная основа — прозвище Бовша. В русских говорах, особенно северных и сибирских, «бовша» или «бовша» — устаревшее слово, означавшее большую деревянную ложку, ковш, черпак. Прозвище могли дать человеку по роду занятий: например, изготовителю ковшей и ложек (ложкарю, бондарю), либо по внешнему сходству — полному, широкому человеку, которого в шутку сравнивали с ёмким ковшом. Также не исключена связь с глаголом «бовтать» (болтать, взбалтывать) — в этом случае Бовша мог быть прозвищем говорливого, суетливого человека.

Встречается и версия, что фамилия имеет финно-угорские корни, учитывая распространённость суффикса -ша в прибалтийско-финских именах (например, Кавша, Ирша). Но для фамилии Бовшина эта гипотеза менее убедительна из-за отсутствия параллелей в документах.

Фамилия редкая, географически привязана в основном к северным и центральным областям России — Вологодской, Архангельской, Костромской, где исторически было развито ремесло деревянной утвари. В дореволюционных переписях Бовшины встречаются среди государственных крестьян и мещан. Никакого дворянского происхождения у фамилии нет — это типичная «ремесленная» фамилия, указывающая на занятие предка.

Если отбросить редкие гипотезы, самое правдоподобное: ваш предок был либо ложечником, либо человеком с заметной внешностью — и его прозвище Бовша закрепилось за родом.