Фамилия Братыиков — редкий случай, когда написание подсказывает происхождение даже без обращения к словарям. В ней отчетливо видна основа «брат» и суффикс «-ыик-», который в русском языке почти не встречается. Это не опечатка и не искажение: перед нами диалектная или просторечная форма слова «братик». В некоторых южнорусских и украинских говорах уменьшительно-ласкательные суффиксы звучали как «-ыик» (сравните: «хлопчик» — «хлопыик», «мальчик» — «малыик»). Таким образом, Братыиков — это буквально «сын маленького брата», то есть потомок человека, которого в семье или в деревне прозвали Братыиком.

Модель образования типична для русских фамилий: прозвище или мирское имя на «-ыик» + притяжательный суффикс «-ов». Фамилия отвечает на вопрос «чей?» — чей сын? Братыиков. Интересно, что в официальных документах XIX века такую фамилию могли записать и как Братиков, и как Братыков, но форма с «ы» сохранилась именно в тех регионах, где «и» после твердых согласных произносили как «ы» (так называемое «оканье» и «ыканье» в рязанских, тамбовских, воронежских говорах).

Само прозвище Братыик могло иметь несколько значений. Чаще всего так называли младшего брата, особенно если он был заметно моложе остальных детей, или же сироту, которого воспитывали старшие братья. В некоторых случаях прозвище давали человеку, который постоянно называл других «брат» или «братик» — то есть был приветливым, общительным. Встречается и более редкая версия: в артелях и ремесленных цехах «братыиком» могли называть подмастерья, который еще не стал полноправным мастером, но уже не был учеником.

Сословная принадлежность носителей фамилии, скорее всего, крестьянская или мещанская. Фамилии на «-ик» с диалектным оттенком редко встречаются у дворянства — они возникали в среде, где прозвища передавались по наследству стихийно, без участия приходского священника, который мог бы «исправить» форму на литературную. Поэтому Братыиковы — это потомки людей из сельской или посадской среды, живших в центральной России или на юге.

Сравните с однокоренными фамилиями: Братов, Братиков, Братчиков. Последняя особенно показательна: «братчик» — член братства, землячества или религиозной общины. Братыиков же стоит особняком — это не столько социальный статус, сколько бытовое, семейное прозвище, которое говорит о месте человека в родственной иерархии.