Фамилия Брещайко — одна из тех, что сразу выдают южнорусское или украинское происхождение. Ключ к ней — суффикс -айко, очень характерный для украинских фамилий (сравните: Довгайко, Грицайко, Шевченко). Этот суффикс часто указывал на уменьшительную или ласкательную форму, а в фамилиях мог закрепляться за человеком как прозвище, данное по какому-то яркому признаку.

Основа — брещ- — восходит к глаголу «брехать». В украинском языке это слово имеет два основных значения: лаять (о собаке) и врать, болтать вздор (о человеке). В русских говорах «брехать» тоже означало «лгать» или «пустословить», но в украинском это прямое и очень употребительное слово. Таким образом, Брещайко — это человек, которого прозвали за склонность к пустой болтовне, хвастовству или, в более мягком варианте, за громкий, звонкий голос, похожий на лай.

Вероятнее всего, фамилия образована от прозвища Брещай (или Брех), к которому добавили типичный украинский патронимический суффикс -ко (в форме -айко), означающий «сын такого-то» или «маленький, молодой такой-то». То есть Брещайко — «сын Брещая» или «тот, кто похож на Брещая». Словообразовательная модель здесь та же, что и в фамилиях типа Грицайко (от Гриць, Григорий) или Стецайко (от Стець, Степан). Прямых параллелей с каким-то ремеслом нет — это чисто прозвищная фамилия, отражающая характер или манеру поведения.

Географически фамилия тяготеет к западным и центральным областям Украины, особенно к Волыни, Подолью и Галичине. В России она встречается редко и почти всегда — следствие миграции с Украины в XIX–XX веках. В дореволюционных переписях её можно найти среди казаков и крестьян, так как прозвища на «-айко» были распространены в демократической среде, без привязки к дворянству или духовенству.

Спорных версий у фамилии практически нет. Единственное, что можно оговорить: не путать её с однокоренной фамилией Брещенко (где суффикс -енко — тоже украинский, но более распространённый и нейтральный). Брещайко — вариант более редкий и «говорящий»: он сохранил именно ту модель, которая подчёркивает прозвищную, а не просто патронимическую природу. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, в его роду был человек с острым языком, которого не зря прозвали Брехачем или Брещаем.