Фамилия Бродарский — редкая, штучная, и её разговор начинается не с корня, а с суффикса. Окончание -ский указывает на польское или западнорусское происхождение: такую форму давали дворянам и шляхте по названию имения. Но в случае с Бродарским перед нами, скорее всего, не потомок древнего рода, а человек, чей предок получил фамилию по месту жительства или роду занятий уже после отмены крепостного права, когда фамилии на -ский стали массово присваивать крестьянам и мещанам.

Основа «брод-» — от слова «брод». Здесь два вероятных пути. Первый: прозвище Бродарь дали человеку, который жил у брода, перевозил через реку или указывал путь. Второй, более конкретный: в польском и украинском языках «бродар» (или «бродарка») — это тот, кто варит пиво или брагу, то есть пивовар. В старых документах встречается слово «бродарня» — пивоварня. Фамилия могла закрепиться за владельцем такого заведения или за работником.

География подсказывает: фамилия Бродарский почти не встречается в центральной России. Её носители — выходцы из Подолья, Волыни, Галиции, то есть с территорий, где переплетались польская, украинская и еврейская традиции именования. В польских метриках XIX века Бродарские записаны как мещане и крестьяне, изредка — как мелкая шляхта, но без дворянского герба. В еврейской среде фамилия могла возникнуть как топонимическая — от местечка Броды (Львовская область), где «Бродарский» означало «родом из Брод». Это типичная модель для еврейских фамилий на -ский, которые давали по названию города.

В русском языке фамилия звучит как прилагательное, но в быту склоняется по мужскому и женскому роду: Бродарский и Бродарская. Ударение, скорее всего, на втором слоге — Брода́рский, хотя в польском варианте могло быть на первом: Бро́дарский. Единой нормы нет, и это нормально для редкой фамилии.

Сравните с однокоренными: Бродский — самая известная фамилия от того же корня, но с более простым суффиксом. Бродарский — её более редкий «родственник», сохранивший архаичный суффикс деятеля (-арь). Если Бродский — это человек с брода, то Бродарский — тот, кто при броде, кто им промышляет.