Фамилия Бродинский образована по модели, типичной для польской и западнорусской шляхты: основа плюс суффикс -ский/-цкий, указывающий на принадлежность к местности или роду. В основе лежит топоним Бродин или Броды. Таких сёл и местечек в бывшей Речи Посполитой — несколько: например, Бродин в Волынской губернии или Броды — известный город на Львовщине. Человек, получивший фамилию Бродинский, скорее всего, был либо владельцем такого имения, либо выходцем из него, и фамилия закрепилась за ним как указание на место жительства.

Слово «брод» в основе — общеславянское, означает мелкое место на реке, где можно перейти пешком. Названия сёл Броды и Бродин часто давали поселениям у переправ. Суффикс -ин в топониме Бродин указывает на принадлежность (буквально «место человека по имени Брод» или «место у брода»), а уже от этого названия возникла фамилия с дворянским суффиксом -ский.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые в России носили крестьяне и мещане, фамилии на -ский в XIX веке чаще указывали на дворянское или духовное происхождение. Бродинские — не исключение: в метрических книгах Киевской и Волынской губерний эта фамилия встречается среди мелкопоместной шляхты и униатского духовенства. Встречается она и у поляков-католиков, и у православных украинцев, что отражает смешанный этнический состав западных губерний Российской империи.

Написание фамилии устойчиво: Бродинский, а не Бродзинский или Бродский. Последняя форма — Бродский — встречается чаще и восходит к тому же корню, но к другому топониму (Броды без суффикса -ин). Бродинский — более редкий вариант, сохранивший промежуточное звено в названии поселения. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, его корни — в Волынской, Подольской или Гродненской губерниях, в зоне польско-украинского пограничья.