Фамилия Бродина — женская форма от Бродин, а мужской вариант указывает на происхождение от прозвища или мирского имени Брода. В отличие от более частых фамилий на -ов, суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бродин, то есть сын Броды. Само слово «брода» в древнерусском языке означало не только мелкое место для перехода через реку, но и человека, который постоянно бродит, скитается или переходит с места на место. В северных и сибирских говорах «бродой» могли назвать непоседу, странника или даже бродягу — без резко отрицательного оттенка, скорее как констатацию образа жизни.

Вторая возможная основа — отчество от крестильного имени Бродислав или его сокращённой формы Брода. Такие имена были редки, но встречались в новгородских землях, где сохранялась традиция славянских имён вплоть до XVII века. Однако прозвищное происхождение вероятнее: фамилия Бродин фиксируется в переписях XVII–XVIII веков в основном среди крестьян и посадских людей Русского Севера — в Вологодской, Архангельской и Вятской губерниях. Там же, кстати, слово «бродина» (с ударением на первый слог) могло означать и саму топь, болотистую бродячую тропу — то есть фамилия могла закрепиться за человеком, жившим у такого места.

Интересная деталь: в некоторых старых документах встречается написание «Брадина» — это не ошибка, а диалектное «аканье», которое в письменных источниках XVIII века отражало реальное произношение. Позже, с унификацией церковных метрик, форма с «о» закрепилась как литературная. Так что если ваши предки из центральной России, могло быть и такое колебание в написании.

По сравнению с однокоренными фамилиями вроде Бродников (от слова «бродник» — перевозчик через брод) или Забродин (живущий за бродом), Бродин и Бродина выглядят как фамилии, образованные напрямую от личного прозвища, без профессиональной привязки. Это значит, что ваш предок, скорее всего, не был владельцем парома или содержателем переправы — его просто так прозвали за характер или место жительства.