Фамилия Брывкин — редкая и неочевидная по корню. В отличие от большинства русских фамилий на -ин, образованных от имён или прозвищ на -а/-я, здесь основа «Брывк-» звучит нестандартно. Первое, что приходит в голову — связь с глаголом «брыкать» или «брыкаться», то есть лягаться, упрямиться. В северных и сибирских говорах «брыка» или «брывка» могло быть прозвищем норовистого человека, скотины, а то и непослушного ребёнка. Суффикс -к- в основе указывает на краткую, часто уменьшительную форму прозвища, а -ин — на принадлежность: «чей?» — сын Брывки.

Однако есть и другая версия, менее очевидная. В некоторых диалектах «брыва» означало бровь, а «брывка» — человека с густыми или сросшимися бровями. Тогда фамилия — из той же модели, что и Бровкин, но с местным фонетическим изменением: замена «о» на «ы» или редукция гласного. Такие переходы характерны для акающих говоров юга России и некоторых областей Беларуси. Спор между этими двумя версиями решается просто: прозвище по характеру (от «брыкаться») встречается чаще, чем прозвище по внешности, и даёт более естественную мотивацию для фамилии.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным областям России, но не массовая. В дореволюционных переписях Брывкины единично фиксируются в Воронежской, Курской и Тамбовской губерниях — то есть в зоне активного взаимодействия великорусских и украинских говоров. Это объясняет и возможное украинское влияние: в украинском языке «брикати» — то же, что «брыкаться», а форма «Бривка» могла обрусевшим произношением превратиться в «Брывка».

Что касается социального статуса, то фамилия на -ин с основой от прозвища, а не от крестильного имени, чаще встречалась у крестьян и посадских людей, а не у знати. Брывкины, скорее всего, принадлежали к черносошным или помещичьим крестьянам, и фамилия закрепилась за ними не раньше XVII–XVIII веков, когда начался массовый учёт населения. Прямых указаний на дворянство или известных исторических носителей нет — фамилия осталась в своей среде, не попав в родословные книги.

Если коротко: Брывкин — это «сын Брывки», а Брывка — либо упрямец, брыкун, либо, реже, человек с приметными бровями. Корень диалектный, фамилия редкая и почти не покидала пределов чернозёмных губерний.