Фамилия Будигай — редкая, и её происхождение нужно разбирать по частям. Первое, что бросается в глаза, — финаль -гай. В русских фамилиях такой суффикс нехарактерен. Он указывает на тюркское или, шире, степное влияние: в татарском, башкирском, казахском языках -гай (или -кай) часто образует прилагательные или уменьшительные формы. Сама основа «буди» при этом звучит по-славянски. Получается, что перед нами гибрид: славянский корень, оформленный тюркским аффиксом. Такие фамилии могли возникнуть на границе двух миров — в южнорусских степях, на Урале или в Поволжье, где русские крестьяне или казаки смешивались с местным населением.

Версий значения корня «буди» несколько. Самая прямая — от глагола «будить». Прозвище Будига (или Будигай) могли дать человеку, который рано вставал, поднимал всех на работу, был заводилой или, наоборот, надоедливым «будящим». В русских говорах «будига» — это ещё и «непоседа», «беспокойный человек». Вторая, менее очевидная, — от имени Будимир или Будислав: в древнерусской традиции были имена с корнем «буд-» (Будивой, Будиша). Усечённое «Буди» могло стать основой для прозвища, а затем и фамилии. Третья версия — от тюркского слова «будай» (пшеница) или «буди» (аромат, запах), но тогда основа должна была бы звучать иначе, а славянский глагол выглядит правдоподобнее.

Суффикс -ай в фамилиях часто указывает на украинское или белорусское происхождение (ср. Бондай, Коваль). Но в паре с -гай это скорее указывает на южнорусский регион, где тюркские влияния сильны. Фамилия могла закрепиться как прозвище в казачьей среде: на Дону или Кубани, где фамилии на -ай встречаются чаще, чем в центральной России.

Итог: Будигай — фамилия, в которой славянская основа («будить») получила тюркское оформление. Предок, скорее всего, получил прозвище за характер или поведение (непоседа, ранний птаха), жил на стыке культур — в степной или уральской полосе, где русские и тюркские языки постоянно контактировали. Фамилия редкая, в официальных документах и справочниках почти не описана, что делает её особенно интересной для семейного поиска.