Фамилия Будегай — редкий случай, когда прозвище или имя-основа не поддаётся однозначной славянской этимологии. Она явно не вписывается в ряд типичных русских фамилий на -ов, -ин или -ский. Её происхождение, скорее всего, связано с тюркскими или монгольскими языками, где основа «буде» или «буда» могла означать «олень» (в некоторых тюркских наречиях) или быть частью составного имени. Суффикс -гай (или -гей) часто встречается в тюркских антропонимах и географических названиях — например, в фамилиях Аргамаков, Байгара или в топонимах вроде Улагай. Это указывает на то, что предок носителя фамилии мог быть выходцем из степных народов — татар, башкир, казахов или ногайцев, принявшим православие и осевшим на русской территории.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая, — искусственное происхождение фамилии. В XIX веке при переписях или в духовных училищах семинаристам нередко давали фамилии «от фонаря», по случайным звукосочетаниям. Однако для такой гипотезы нет прямых свидетельств, и она слабее тюркской, поскольку фамилия имеет узнаваемую модель, характерную для тюркских языков.

Интересная деталь: в русских говорах слово «буда» могло означать «будка», «сторожка» или «временное жильё» (от польского buda — «шалаш»), а «гай» — «лес», «роща» (южнорусское и украинское). Но слияние этих двух корней в одну фамилию маловероятно: скорее всего, мы имеем дело с цельным тюркским прозвищем, которое при записи на слух адаптировали к русскому произношению. Географически фамилия встречается крайне редко, в основном на юге России и в Поволжье — регионах, где исторически был силён тюркский субстрат.

Таким образом, наиболее правдоподобно, что Будегай — это русифицированная форма тюркского прозвища, которое могло означать либо «оленевод» (от «буда» — олень), либо «сильный, могучий» (от тюркского «будай» — «большой, крупный»). Точное значение сегодня восстановить трудно, но ясно, что фамилия несёт в себе следы этнического смешения и степной истории.