Фамилия Будугай — редкий случай, когда внешне простая основа ставит перед исследователем сразу несколько загадок. На слух она звучит как тюркская, и это первая и самая вероятная версия. Корень «буду» (или «буда») в тюркских языках может означать «олень» или, в более широком смысле, «рогатое животное». В таком случае Будугай — это прозвище, данное либо охотнику, либо человеку, которого сравнивали с оленем по быстроте, осторожности или внешним чертам.

Однако есть и другая, менее очевидная, но исторически важная гипотеза. Формант «-гай» в фамилии — не уменьшительный суффикс, а характерный для тюркских языков аффикс, образующий прилагательные или имена. Встречается он в топонимах (например, Бугульма, Бугуруслан) и в древних антропонимах. Это значит, что фамилия могла возникнуть не от прозвища, а от тюркского личного имени Будугай, которое фиксировалось у башкир, татар и ногайцев. В таком случае фамилия — это прямое наследие родового имени, которое носил предок.

Сложность в том, что у фамилии нет привычного русского суффикса (-ов, -ин). Это говорит о её позднем и, скорее всего, нерусском происхождении. Она могла быть записана в документах в неизменной форме, как это часто делали с фамилиями крещёных татар и башкир в Оренбургской, Уфимской или Самарской губерниях. Географически фамилия Будугай сегодня встречается в основном на Южном Урале и в Поволжье, что подтверждает её региональную привязку к тюркскому населению этих мест.

Спор между версиями «прозвище» и «личное имя» решается в пользу второй. Личные имена с корнем «буду» у тюркских народов действительно существовали, а вот прозвище «Олень» для человека — слишком общее, чтобы закрепиться в виде уникальной фамилии без дополнительных поясняющих суффиксов. Будугай — это, скорее всего, родовое имя, которое со временем стало фамилией для целой семьи, сохранив древнюю тюркскую основу.