Фамилия Будогов — одна из тех, что образованы не от имени, а от прозвища, и её корень уходит в диалектную лексику. В основе лежит слово «будаг» или «будак» — в южнорусских и украинских говорах так называли крикуна, горлопана или забияку. Человек, получивший такое прозвище, вероятно, отличался громким голосом и неуживчивым нравом. Модель образования проста: суффикс -ов указывает на принадлежность — буквально «сын Будога» или «из рода Будога».

Интересно, что эта фамилия встречается почти исключительно у донских и кубанских казаков. География сужает круг поисков: основные записи о Будоговых относятся к станицам бывшей Области Войска Донского. Казачий быт часто порождал прозвища по внешним или поведенческим чертам, которые закреплялись как фамилии. Более редкая версия связывает корень с тюркским «буда» — «лёд», но для говоров юга России слово «будаг» в значении «крикун» задокументировано лучше, поэтому эта гипотеза выглядит натянутой.

Сравните с однокоренными фамилиями: Будагов (с ударением на последний слог) чаще встречается у армян и происходит от имени Будаг; Будогов же — чисто русская форма с характерным суффиксом -ов. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из казачьей среды, и его пращур запомнился окружающим как человек шумный и прямолинейный.