Фамилия Бугримова — женская форма фамилии Бугримов. В её основе лежит мужское личное прозвище или нецерковное имя Бугрим. Значение этого имени спорно, и у исследователей есть на этот счёт две основные версии, обе связаны с тюркскими языками.

Согласно первой, прозвище Бугрим восходит к татарскому слову «багрим» — «сердце моё», «душечка». Так родители могли назвать долгожданного и сильно любимого ребёнка. Вторая гипотеза связывает имя Бугрим с тюркским именем Байрам, которое носит название мусульманского праздника. В древнерусских документах это имя фиксируется и в форме Багрим. Именно от этой формы производил свой род поэт Гавриил Державин, писавший: «забудется во мне последний род Багрима». В его семейном предании говорилось, что родоначальник Багрим выехал из Большой Орды на службу к великому князю Василию Тёмному в 1425 году.

Исторические источники знают и реальных носителей этого имени. В 1480 году в Кашине упоминается дьяк Иван Денисович Багримов, а в 1566 году в Дмитрове — Юрий Борисович Багримов. Оба этих человека — мужчины, что делает фамилию Бугримова, скорее всего, отчеством: потомок человека по имени Бугрим (или Багрим) получал прозвание Бугримов, а его дочь или жена — Бугримова. Суффикс -ов указывает на принадлежность, типичную для русских фамилий, образованных от полных форм имён и прозвищ.

Таким образом, ваша фамилия хранит память либо о ласковом прозвище предка, либо о его древнем тюркском имени, которое в русской среде обросло документальной историей и даже попало в поэзию.