Фамилия Булешна — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, она образована от прозвища или нецерковного имени, которое в свою очередь связано с глаголом «бу́хать» или «бу́хнуть» в значении «падать с шумом, бить, издавать глухой звук». В русских говорах слово «бу́ха» или «бу́хня» могло означать и шум, грохот, и самого человека — неуклюжего, тяжёлого на подъём или того, кто любит пошуметь. Форма «Булешна» — результат диалектного смягчения: «х» перед «н» перешло в «ш» (как в словах «ухо» — «ушной»). Таким образом, исходная основа — «Бухна» или «Бухня», а фамилия возникла как отчество от этого прозвища: «чей?» — «Булешнин», но со временем утратила конечный суффикс.

Суффикс -на в фамилии настораживает: для русских отчеств типичны -ов/-ев или -ин (Бухнин), а здесь окончание, характерное скорее для украинских или белорусских фамилий (типа Шевченко, но с иной моделью). Однако Булешна — не украинская форма: в украинском языке не было бы перехода «х» в «ш» в этой позиции. Скорее всего, это севернорусское или поморское явление, где фамилии иногда застывали в краткой форме притяжательного прилагательного женского рода (ср. фамилии типа Скорня, Плотна). То есть предка могли звать Булешна (прозвище в форме женского рода), а потом это прозвище стало фамилией без изменений. Такой способ встречается в архангельских, вологодских, вятских говорах.

Есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта — деревни Булешна, Булешная или подобной. В документах XIX века упоминаются селения с корнем «Булеш-» в бывшей Вятской губернии (сейчас Кировская область). Если так, то фамилия — топонимическая, и её носитель когда-то переселился оттуда. Но поскольку сама фамилия крайне редка, связь с конкретной местностью остаётся предположительной.

Однозначно сказать, кем были предки, сложно. Если верна версия с прозвищем от «бухать» — то, возможно, это был человек с громким голосом, тяжёлой походкой или шумным нравом. Если фамилия пошла от названия деревни — то просто выходец из тех мест. В любом случае, Булешна — фамилия-загадка, сохранившая в себе диалектные черты русской речи, которые почти исчезли из современного языка.