Фамилия Бурие — редкая для русского и украинского уха, и её происхождение стоит искать не в славянских прозвищах, а в западноевропейской традиции. В отличие от распространённой украинской фамилии Бурий (от прозвища Бура, связанного с химическим веществом бурой или тюркским словом «верблюд-самец»), фамилия Бурие имеет совсем другую природу.

Скорее всего, это французская или бельгийская фамилия. Во французском языке слово «bourier» означало «крестьянин», «землепашец» или «подёнщик» (от старофранцузского «bure» — грубая шерстяная ткань, которую носили простолюдины). В таком случае фамилия Бурие — это указание на социальное положение предка: он был человеком незнатного происхождения, работавшим на земле. Второй вариант — топонимический: фамилия могла произойти от названия местности Бюри (Bury) во Франции или Бельгии.

Написание через «е» на конце — типичный для французских фамилий суффикс, обозначающий принадлежность или происхождение (сравните: Лорье, Картье). В русском языке такое окончание часто сохраняют без изменений, в отличие от фамилий на -ий, которые склоняются.

Версия о связи с бурой или верблюдом, которая приводится для фамилии Бурий, к фамилии Бурие малоприменима: разные суффиксы указывают на разную языковую среду. Если ваш предок носил фамилию Бурие, скорее всего, он был выходцем из Франции, Валлонии или франкоязычной Швейцарии, а его род занятий — крестьянский труд или ремесло, связанное с грубой тканью.