Фамилия Бурис — редкий случай, когда корень слова не бросается в глаза, а суффикс почти отсутствует. В русской модели фамилий на -ис обычно скрывается либо польское, либо белорусское влияние, либо книжное окончание, пришедшее через духовенство.

Скорее всего, перед нами фамилия польского или западнорусского происхождения, образованная от прозвища или имени Бур. Основа «бур» в славянских говорах многозначна: это и «буря», «сильный порыв ветра», и «бурый цвет», и даже «сварливый, вспыльчивый человек». В белорусском и украинском языках слово «бур» могло означать «сорняк» или «бурьян». Суффикс -ис в таком случае — не типичный русский формант, а скорее усечённая форма польского -иц или -ич, либо латинизированное окончание, которое иногда встречалось у семинарских фамилий (по образцу латинского родительного падежа).

Вторая, менее вероятная версия — что Бурис это вариант фамилии Бурич или Буриц, записанный на слух в документах XIX века. В южнорусских и белорусских говорах звук «ч» на конце мог смягчаться или заменяться на «с», особенно при писарской ошибке.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Речи Посполитой: современная Беларусь, Польша, западная Украина. В России она встречается редко, чаще всего как след миграции в XIX–XX веках. Сословно носители могли быть как крестьянами (прозвище по характеру или внешности), так и мещанами, а если верна семинарская версия — выходцами из духовного звания.

Однокоренные фамилии — Буров, Бурин, Бураков — встречаются гораздо чаще, и все они восходят к тому же многозначному корню «бур». Бурис стоит особняком: её окончание придаёт фамилии оттенок либо иностранного происхождения, либо искусственного книжного образования.