Фамилия Бурнекуа — редкий случай в русском ономастиконе. Скорее всего, это не исконно русская, а западноевропейская фамилия, попавшая в Россию вместе с носителями. Её происхождение почти наверняка французское или швейцарское (из франкоязычных кантонов).

Разложим её на части. Основа «Бурн» (Bourne) может восходить к старофранцузскому «borne» — граница, межевой столб или ручей, граница поля. Второй элемент «екуа» (écu) — это «щит» или «экю» (старинная монета). Таким образом, буквально фамилия могла означать «граничный щит» или «щит на меже» — возможно, прозвище человека, жившего у пограничного знака с изображением герба, или владельца поместья с таким названием. В Швейцарии есть коммуна Бурн (Bourne), и фамилия могла образоваться от топонима с добавлением суффиксального элемента.

В Россию такие фамилии чаще всего попадали через офицеров, инженеров или учителей, приглашённых на службу в XVIII–XIX веках. Например, в истории известен полковник Бурнекуа, служивший в русской армии при Павле I. Также среди обрусевших французов нередки семьи, осевшие в Москве или Петербурге после войны 1812 года. Склоняется фамилия по законам русского языка: Бурнекуа, Бурнекуа, о Бурнекуа — как и другие несклоняемые фамилии на гласную.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они принадлежали к дворянскому или разночинному сословию, имели отношение к военному делу или управлению имениями. В дореволюционных документах её могли записывать по-разному: Бурнекуа, Бурнекуа, изредка с ударением на последнем слоге. Это типичная «иностранная» фамилия, которая со временем полностью обрусела, но сохранила память о французских корнях.