Фамилия Быкодарова — женская форма фамилии Быкодаров, и её происхождение довольно прозрачное, хотя и неоднозначное. В основе лежит сложение двух корней: «бык» и «дар» (от глагола «дарить»). Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Быкодаров буквально означает «чей-то сын» или «потомок человека по прозвищу Быкодар».

Главный вопрос — что означало само прозвище Быкодар. Первая и самая прямая версия: так могли называть человека, который дарил быков, то есть занимался скотоводством и был щедр на подарки. Однако в крестьянской среде дарение столь ценного животного — событие редкое, поэтому прозвище могло быть ироничным: «даритель быков» на деле мог быть тем, кто раздаёт долги или хвастается тем, чего нет. Вторая, более практичная версия: «быкодар» — это не даритель, а тот, кто «даёт» быка в смысле «покрывает корову», то есть владелец племенного быка-производителя. В деревне такой человек был на виду и получал прозвище по своей скотине.

Словообразовательная модель «глагол + существительное» (дарить + бык) редка для русских фамилий. Обычно в таких сложениях на первом месте стоит объект действия (Богодаров, Сребродаров), а здесь — объект дарения. Это сближает фамилию с южнославянскими моделями, где прозвища типа Бикодар (серб., хорв.) встречаются чаще. Не исключено, что предки Быкодаровых могли быть выходцами с юга России или Украины, где скотоводство играло большую роль, а фамилия закрепилась в русской среде через суффикс -ов.

Фамилия редкая, в исторических документах (например, в переписных книгах или у Веселовского) не фиксируется, что говорит о её локальном бытовании. Сословно, скорее всего, это крестьянская или казачья фамилия — прозвище давали по хозяйственной деятельности, а не по службе.