Фамилия Быстримович образована от прозвища Быстрим. Скорее всего, в основе лежит прилагательное «быстрый» — в словаре Даля оно трактуется как «прыткий, бойкий». Прозвище отражало характер родоначальника: его проворство и ловкость. Но есть и вторая версия: прозвище могли дать человеку, который «быстровал», то есть выдерживал тяжкие труды. В таком случае основатель рода Быстримовичей был не просто энергичным, а подчёркнуто трудолюбивым человеком.

Суффикс -ович — ключевая деталь, которая указывает на белорусское происхождение фамилии. В белорусской традиции такие фамилии образовывались от имени или прозвища отца. Прозвище Быстрим закрепилось за человеком как основное именование, а со временем перешло в наследственную фамилию. Так потомок «Быстрима» стал Быстримовичем.

Интересно, что суффикс -им в основе — редкий для прозвищ. Обычно такие формы возникали как краткие варианты имён (например, Радим от Радимир), но здесь он приложен к чисто русскому корню «быстр-». Это делает фамилию необычной даже на фоне однокоренных Быстров, Быстрицкий или Быстренко. Встречаемость фамилии низкая, что подтверждает её локальный характер — скорее всего, она закрепилась в одном или нескольких соседних родах на территории современной Беларуси.