Фамилия Чевордина — женская форма от мужской фамилии Чевордин. Её основа — прозвище или нецерковное имя Чеворда. В русской ономастике такие фамилии обычно указывают на принадлежность к главе семьи: Чевордина — это «жена Чевордина» или «дочь Чевордина». Суффикс -ин, в отличие от -ов, чаще встречается у фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или на -а/-я, и в северных и центральных русских говорах он был распространён шире, чем на юге.

Корень «чеворд-» — тёмный и редкий. Самая правдоподобная версия связывает его с диалектным словом «чеворда» — так в некоторых областях (особенно на Урале и в Сибири) называли неуклюжего, неловкого человека, а также нечто громоздкое и тяжёлое. В этом случае фамилия произошла от прозвища, которое дали по внешности или походке. Менее убедительна попытка возвести основу к тюркским корням (например, к «чевер» — «ловкий»), так как географически фамилия Чевордины зафиксирована в основном в русских регионах — в Пермском крае, Кировской области и на Урале, где активных тюркских контактов в период закрепощения фамилий не было.

Обратите внимание на орфографию: фамилия пишется через «о» — Чевордина, а не Чивордина. В старых документах встречается написание Чевординых, что подтверждает архаичную модель образования притяжательных прилагательных. Если ваш предок носил фамилию Чевордин, он мог быть выходцем из крестьян или мастеровых людей Вятской или Пермской губернии — именно там эта фамилия встречается в метрических книгах XIX века. Дворянских родов с такой фамилией не известно, так что социальный фон — скорее, простое сословие.