Фамилия Чевордаков — редкий пример, где основа, скорее всего, восходит к тюркскому прозвищу, а русский суффикс -ов превратил его в фамилию. Разберём слово по частям.

Корень «Чевордак» (или «Чевардак») звучит не по-славянски. Наиболее вероятная версия — связь с тюркским словом «чевардак» или «чабак», что в разных диалектах означает «ерш» или «мелкая рыба». В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, прозвища по названиям рыб давали либо рыбакам, либо людям с колючим, неуживчивым характером — «ёршистым». Сравните с фамилиями Ершов или Чебаков — они образованы по той же модели, но от разных корней. Человек по прозвищу Чевордак мог быть либо ловцом ерша, либо сам напоминать эту цепкую рыбку.

Вторая, менее вероятная версия — искажённое «чердак», но фонетика здесь подводит: замена «р» на «в» в корне «черд-» встречается крайне редко и нехарактерна для русских говоров. Скорее всего, это случайное созвучие.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую модель образования отчества или фамилии: «чей?» — Чевордаков, то есть сын Чевордака. Такая модель была всесословной, но в крестьянской и мещанской среде она закрепилась позже, в XVIII–XIX веках. Географически фамилия встречается в Поволжье и на Урале — регионах, где веками шло смешение русского и тюркского населения. Если ваши предки носили эту фамилию, они с высокой вероятностью происходили из зоны русско-татарского пограничья: из бывшей Казанской, Уфимской или Оренбургской губерний.

С точки зрения словообразования, интересен сам суффикс -дак в основе. Он характерен для тюркских прозвищ (сравните: Алдак, Булдак) и указывает на уменьшительную или уничижительную форму. То есть Чевордак — это не просто «ерш», а «ершик», «мелкий ёрш». Прозвище могло закрепиться за невысоким человеком с острым языком.

О дворянстве или знатном происхождении Чевордаковых данных нет. Фамилия не входит в родословные книги, что косвенно подтверждает её крестьянские или однодворческие корни. Это совершенно рядовая, «народная» фамилия, которая тем и ценна: она прямо ведёт к прозвищу, которое дали реальному человеку три-четыре века назад.