Фамилия Чевордакова — яркий пример «макаронической» модели, где русский суффикс пришит к иноязычной основе. Сразу бросается в глаза суффикс -ов, который в женском роде даёт окончание -а. Это типичный «патроним» по отцу: Чевордаков — сын Чевордака, Чевордакова — дочь или жена Чевордакова. Вся загадка фамилии упирается в корень Чевордак.

Самая правдоподобная версия — тюркское происхождение прозвища. В татарском, башкирском и других тюркских языках есть слово «чәүрә» (чэврэ) или «чөврә» (чёврэ), что значит «круг», «оборот», «окружность». От него образуется «чәүрәдәк» (чеврэдэк) — «кружок», «колечко». Прозвище Чевордак могли дать человеку круглолицему, полному, либо тому, кто жил в изгибе реки или на круглом возвышении. Вторая, менее вероятная версия — от тюркского «чевер» (ловкий, проворный) с добавлением уменьшительного суффикса -дак. Тогда Чевордак — «ловкач», «шустрый малый».

С географической точки зрения фамилия Чевордакова — редкая. Её очаг — Поволжье и Приуралье, особенно Татарстан, Башкирия, Оренбургская область. В центральных русских губерниях она почти не встречается. Это указывает на то, что предки носителей фамилии были, скорее всего, крещёными татарами или мишарями, которые в XVII–XIX веках переходили в православие и получали фамилии по старым родовым прозвищам.

Интересна словообразовательная деталь: суффикс -ак/-як в тюркских прозвищах часто придаёт значение «обладатель признака» или «деятель». Чевордак — не просто «круг», а «тот, кто связан с кругом». В русской адаптации этот суффикс сохранился, что говорит о раннем заимствовании, ещё до того, как фамилия оформилась окончательно.

Вариант написания с буквой «ё» (Чёвордакова) встречается, но редко, и не меняет сути: ударение в любом случае падает на третий слог — Чеворда́кова. Если в вашей семье передаётся предание о «круглом» значении или о ловкости предка, то оно, скорее всего, верно — тюркская основа это подтверждает.