Фамилия Чигакова — женская форма фамилии Чигаков, а та, в свою очередь, образована от прозвища Чигак. Основа здесь явно звукоподражательная, связанная с птицами. В русских говорах «чига» или «чигак» — это народное название чибиса, болотной птицы с характерным криком «чьи-вы?». Человек, получивший такое прозвище, мог либо крикливостью напоминать птицу, либо заниматься её ловлей, либо жить в местности, где этих птиц было много. В некоторых диалектах «чига» означало и просто болотную птицу, и даже долговязого, худого человека — по аналогии с длинными ногами чибиса.

Суффикс -ов- в основе Чигаков — стандартный патронимический (отвечающий на вопрос «чей?»), то есть фамилия пошла от отца, которого в народе звали Чигак. Форма Чигакова, соответственно, означает «дочь (или жена) Чигакова». Встречается и вариант написания через «о» — Чигаков, но ударение в обоих случаях чаще падает на второй слог: Чигако́в.

Интересно, что фамилия Чигаковы не была распространена по всей России, а имеет довольно чёткую географическую привязку. По данным переписей и архивов XIX века, большинство Чигаковых — это выходцы из южных губерний: Тамбовской, Рязанской, Воронежской, а также из областей, где были распространены чернозёмы и болотистые поймы рек — идеальная среда для чибисов. В северных губерниях (Архангельской, Вологодской) фамилия почти не встречается, что косвенно подтверждает её «птичье-южнорусское» происхождение.

Словообразовательная модель проста: прозвище Чигак → Чигаков. Сравните с однокоренными, но менее частыми фамилиями: Чигин, Чигаев, Чигарёв. Они образованы от тех же корней, но с разными суффиксами. Чигаков среди них — самая распространённая, что говорит о том, что прозвище Чигак было в ходу не в одном селе, а в разных уездах. Никакой дворянской или купеческой династии с этой фамилией не зафиксировано — это типичная крестьянская фамилия, которая закрепилась за родом после отмены крепостного права в 1861 году, когда бывшим крепостным массово давали фамилии по прозвищам.