Фамилия Чиграков — редкий случай, когда основа прозвища не лежит на поверхности. В ней нет привычного корня, связанного с профессией или внешностью. Скорее всего, в основе лежит диалектное слово «чигра» или «чигря», которое в южнорусских и украинских говорах означало нечто вроде «чепуха», «вздор», «пустяк». Прозвище Чигра, а значит, и Чиграков, мог получить человек, который говорил ерунду, любил пустую болтовню или, наоборот, был настолько несерьёзным, что его дела называли «чигрой». Впрочем, у этого корня есть и другая, более тёмная версия: в некоторых диалектах «чигра» — это птица, похожая на чибиса или кулика, так что прозвище могло быть дано за сходство с повадками птицы, например, за суетливость или крикливость.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую патронимическую модель: Чиграков — сын Чиграка. То есть сначала было прозвище Чигра, затем от него образовали уменьшительную или уничижительную форму Чиграк (как Чигра + -ак), а уже от неё — фамилию. Такая цепочка говорит о том, что прозвище было не случайным, а устойчивым: человек настолько ассоциировался с «чигрой», что его стали называть Чиграком, а потом и его дети пошли по этой линии.

Географически фамилия тяготеет к югу России и востоку Украины, особенно к бывшим Курской, Воронежской и Харьковской губерниям. Там слово «чигра» действительно фиксировалось в речи. Встречается она и в казачьих областях, что неудивительно: прозвища, связанные с речью и поведением, были распространены в среде служилых людей.

Интересно, что фамилия Чиграков не имеет ничего общего с «чиграми» как игрой или с «чигирём» (видом масла). Это чисто диалектный рудимент, который сохранился только в фамилии, а само слово уже почти вышло из обихода. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были крестьянами или однодворцами из чернозёмной полосы, и прозвище их родоначальника звучало для соседей метко и понятно, хотя для нас теперь требует разгадки.