Фамилия Далекорий — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти не скрыто временем. Она буквально читается: «далеко» и «рий» или «рей». Второй элемент восходит к древнерусскому «рий» — рев, крик, шум, или к глаголу «ринуть» (бросить, устремить). В любом случае перед нами прозвище человека, который кричал так, что было слышно далеко, либо того, кто бросал предметы на большое расстояние. Такие прозвища давали по заметной особенности поведения — громогласный голос или необычная сила.

Суффикс -ий в фамилии нетипичен для русского языка. Обычно фамилии на -ий (Толстой, Благий) — это старые адъективные формы, застывшие в именительном падеже. Но здесь основа сложная, глагольно-наречная, что встречается редко. По модели образования фамилия Далекорий напоминает прозвища вроде Перебейнос или Вертихвост — их тоже строили из глагола и дополнения. Правда, в Далекорий глагольная часть не очевидна: скорее всего, это усечение от «далеко рикающий» или «далеко ринущий», где «рикать» означало рычать, реветь.

География фамилии неширокая. В дореволюционных списках и современных базах она встречается точечно, чаще в центральных и южных губерниях России. Возможно, это поздняя письменная фиксация прозвища, которое в устной речи звучало иначе — Далекорый, Далёкорий. Вариант с «о» под ударением (Далёкорий) тоже мог существовать, но в документах закрепился акающий вариант.

Сословной привязки у фамилии нет. Прозвище могли дать и крестьянину, и казаку, и посадскому — громкий голос или меткий бросок ценились везде. В отличие от фамилий на -ов или -ин, Далекорий не отчественная, а прозвищная, что говорит о её более позднем оформлении: такие фамилии чаще всего возникали в XVI–XVII веках, когда прозвища начали закрепляться за потомками без изменений.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Далеков, Далёкий, Рыков) показывает, что Далекорий стоит особняком. В ней нет патронимического суффикса, а значит, она не говорит «чей сын», а прямо называет самого первого носителя. Если у ваших предков была такая фамилия, можно с высокой вероятностью предположить, что родоначальник выделялся либо голосом, слышным за версту, либо силой и дальностью броска.