Фамилия Дембровская — это одна из тех фамилий, которые несут в себе географическую привязку, причём не обязательно связанную с Россией. В основе лежит польско-белорусский топоним Демброво или Демброва (от польского dąbrowa — «дубрава», дубовый лес). В Польше и на западе современной Беларуси десятки деревень с таким названием, и фамилия Дембровский (а в женском роде — Дембровская) указывала на выходца оттуда. Это типичная «помещичья» или «шляхетская» модель: суффикс -ский/-цкий в польской традиции означал не просто принадлежность к местности, а владение ею или проживание в ней.

Форма Дембровская — женская, но в русском контексте её часто носили как наследственную: дочери и жёны Дембровских. Если фамилия закрепилась за родом, то её носительницы могли быть потомками обедневшей шляхты или крестьян, переселившихся из западных губерний в центральную Россию в XIX веке. Интересно, что в польском языке слово «демброва» звучит мягче, а в белорусском — «дзяброва», поэтому в русских записях встречались варианты Дембровская, Домбровская и даже Дембровская с буквой «ё» (Дёмбровская).

С точки зрения словообразования, фамилия стоит в ряду таких же «дубравных» — Дубровский, Дубов, Дубровин. Но Дембровская выделяется полонизированным звучанием: начальное «демб-» вместо русского «дуб-» выдаёт западное происхождение. В Российской империи такие фамилии часто получали униаты или католики, перешедшие в православие, а также потомки польских ссыльных после восстаний 1830 и 1863 годов, сосланных в Сибирь или на Урал. Поэтому, если ваши предки носили эту фамилию в Вологодской или Пермской губернии, это почти наверняка след той ссылки.

Споров о корне немного: значение ясное. Единственная альтернативная версия — что основа не от «дубравы», а от личного имени Домбров (редкое старопольское имя), но эта гипотеза слабая, так как массовость топонимов перевешивает. В современной России фамилия встречается редко, чаще всего в западных областях и среди потомков переселенцев.