Фамилия Дергаченко — типичный пример украинской модели образования фамилий на -енко. Этот суффикс, распространённый в Поднепровье, Слобожанщине и на юге России, изначально означал «сын» или «потомок». Со временем он утратил прямое родственное значение и закрепился как фамильный формант. Таким образом, Дергаченко — это буквально «сын Дергача».

Основа фамилии — прозвище Дергач. Оно восходит к глаголу «дергать». В русских говорах дергалкой называли деревянный или железный крюк, которым вытаскивали сено из стога. Отсюда первая версия: Дергачом могли прозвать человека, который либо делал такие крюки, либо постоянно ими работал — например, крестьянина, занятого на сенокосе. Профессиональные прозвища — один из самых частых источников фамилий в восточнославянской ономастике.

Вторая версия — медицинская. Дергачом в народе могли назвать человека, страдающего нервным тиком или судорогами, то есть того, кого «дёргало». В этом случае прозвище не обязательно несло отрицательный оттенок: в дохристианской традиции восточных славян существовал обычай давать ребёнку «плохое» имя, чтобы отвести от него злые силы. Родители, надеясь вырастить здорового сына, могли намеренно назвать его Дергачом — имя-оберег.

Слово «дергач» имеет и ещё одно значение — так в некоторых областях называют птицу коростеля. Самца коростеля действительно отличает резкий, отрывистый крик, похожий на «дерг-дерг». Однако эта версия менее вероятна для прозвища: в ономастике прозвища от названий птиц обычно давали за внешнее сходство или повадки, а не за звук голоса, и в случае с коростелем такая связь не прослеживается.

Фамилия Дергаченко встречается преимущественно на Украине и в прилегающих областях России — Курской, Белгородской, Воронежской. Это подтверждает её происхождение из зоны активного бытования фамилий на -енко. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев (Дергачёв), украинский вариант Дергаченко указывает на иной, более архаичный способ именования по отцу.

В словарях фамилия не фиксируется как дворянская или купеческая. Скорее всего, её носили крестьяне и казаки — те самые люди, чья жизнь была тесно связана с сельским трудом, а прозвища отражали либо ремесло, либо заметную особенность внешности или поведения.