Фамилия Дергачевы (встречается также написание через ё — Дергачёвы) образована от личного прозвища Дергач. Ономасты сходятся на том, что в основе лежит глагол «дергать», но вот кого именно так называли в старину — здесь возможны варианты.

Самая правдоподобная версия — профессиональная. В русских говорах дергалкой называли деревянный или железный крюк, которым вытаскивали сено из стога. Прозвище Дергач могли дать человеку, который либо делал такие крюки, либо постоянно работал ими — например, сено дергал. Так фамилия указывала бы на занятие предка, а не на его характер.

Есть и вторая бытовая версия: Дергачом называли человека вспыльчивого, невоздержанного, то есть такого, который «дергается» по любому поводу. В этом случае фамилия отражала бы особенность поведения.

Третье объяснение — охранительное. В старину родители нарочно давали ребенку неблагозвучное прозвище, чтобы отвести от него злые силы. Если в семье боялись, что мальчик родится с нервным тиком или судорогами, его могли назвать Дергачом в надежде, что настоящая болезнь обойдет стороной. Такая практика была широко распространена у славян.

Менее убедительна версия о происхождении от нецерковного имени Дергач в честь птицы коростеля (его второе название — дергач). Хотя у древних славян и были популярны «птичьи» имена, для этой фамилии связь с глаголом «дергать» выглядит гораздо естественнее и подтверждается диалектной лексикой.

Модель образования типична: к основе Дергач добавили патронимический суффикс -ев, который указывал на принадлежность («чей?» — «сын Дергача»). Так что Дергачевы — это потомки человека по прозвищу Дергач. Где именно и когда впервые закрепилась эта фамилия, сказать сложно: процесс формирования русских фамилий был долгим и растянулся на несколько столетий.