Фамилия Дергаева образована от мужской формы Дергаев, а та — от прозвища Дергай. В основе почти наверняка лежит глагол «дёргать»: так в русских говорах называли человека суетливого, порывистого, того, кто «дёргается» без дела или постоянно одёргивает других. В некоторых регионах «дергачом» могли назвать и заику — из-за прерывистой, «дёрганой» речи. Вторая, менее очевидная версия: прозвище могли дать по птице. Дергач — это другое название коростеля, полевой птицы с резким скрипучим криком. Прозвище Дергач (в бытовом произношении Дергай) мог получить человек с похожим голосом или походкой.

Суффикс -ев указывает на притяжательную модель: «чей?» — Дергаев, то есть сын или потомок Дергая. Это типичная патронимическая фамилия восточнославянского типа, массово закрепившаяся в XVI–XVII веках. Интересно, что в старых документах встречаются оба варианта написания — Дергаев и Дергай — как фамильное прозвание ещё до окончательной фиксации.

Географически фамилия Дергаевых не привязана к одной местности, но заметно чаще встречается в центральных и южных областях России, а также на Среднем и Нижнем Поволжье. В среде донских казаков прозвище Дергай фиксируется с XVII века. Это позволяет предположить, что предки современных Дергаевых могли быть не только крестьянами или посадскими, но и служилыми людьми «по прибору» — стрельцами, казаками, пушкарями, у которых прозвища приживались особенно прочно.

С точки зрения словообразования фамилия Дергаева ничем не примечательна: это стандартная форма на -ев от основы на мягкий согласный. Родственные фамилии — Дергачёв, Дергунов, Дергилёв — все от того же корня, но с разными суффиксами, что говорит о богатстве прозвищной системы: Дергач, Дергун, Дергиль — всё варианты одного типажа.