Фамилия Доброгаев — редкий случай, когда основа прозвища читается почти буквально: «добро» + «гай». Вторая часть восходит к древнерусскому глаголу «гаяти» (заботиться, беречь, радеть) или к существительному «гай» (лес, роща, дубрава). Таким образом, прозвище Доброгай означало «добрый хозяин», «рачительный заботник» либо, по второй версии, «человек, живущий у доброго леса» или «владелец хорошей рощи». Первая трактовка — про человека — выглядит убедительнее для прозвища, но вторая, топографическая, тоже возможна: на Русском Севере «гай» нередко входило в состав названий урочищ.

Суффикс -ев указывает на типичную патронимическую модель: Доброгаев — сын Доброгая. Фамилия образована от полной, нередуцированной формы прозвища, что говорит о его относительной древности: в XV–XVI веках такие прозвища ещё не успели стянуться в краткие формы. Интересно, что фамилия не получила распространения через церковное имя (в святцах нет ничего похожего) и осталась чисто мирским, «прозвищным» образованием.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Основной ареал — центральные области России, с некоторым тяготением к Владимирской и Нижегородской губерниям, где фиксировались однокоренные фамилии вроде Доброганов, Доброхотов, а также топонимы с корнем «гай». В сословном плане носители, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми — дворянских родов Доброгаевых в «Бархатной книге» и других родословных сборниках не значится.

Словообразовательная модель здесь примечательна ещё и тем, что основа «добро-» в русских фамилиях обычно сочетается с глагольными корнями (Добронравов, Добромыслов), а «-гай» — случай редкий. Из известных параллелей можно вспомнить фамилию Доброхотов (от «доброхот» — доброжелатель), но там вторая часть — «хотеть», а не «гаять». Таким образом, Доброгаев стоит особняком: это не калька с греческого и не семинарская фамилия, а живое народное прозвище, сохранившее архаичную лексику.