Фамилия Долгу — это притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?». Её основа — прозвище Долг, а суффикс -у указывает на принадлежность к роду: буквально «сын Долга» или «из семьи Долга». Такая модель образования (с суффиксом -у) встречается реже, чем привычные -ов или -ин, и характерна в основном для украинской и южнорусской ономастики. Поэтому первое, что стоит отметить: Долгу — фамилия с чёткой региональной окраской, скорее всего, западно- или южнорусского происхождения.

Что означало само прозвище Долг? Тут возможны два направления, и оба правдоподобны. Первое: от прилагательного «долгий» в старом значении «большой, длинный». Так могли прозвать высокого, рослого человека, чей рост выделял его среди окружающих. Второе: от существительного «долг» — обязанность, должное. В этом случае прозвище отражало характер: человека, который всегда выполнял обещанное в срок, не давал пустых обещаний. В старину у слова «долг» был и оттенок «служебное место с обязанностями» — именование могло закрепиться за тем, кто нёс определённые функции при каком-либо звании (например, церковный или мирской долг).

Спор между этими версиями не имеет однозначного решения — оба корня существовали в живой речи параллельно. Но с точки зрения словообразования важно вот что: если бы прозвище образовали напрямую от прилагательного «долгий», логичнее ждать форму Долгов (с суффиксом -ов). Форма Долгу — более редкая и прямая, от существительного «долг» как такового. Поэтому версия с обязанностью и характером выглядит чуть предпочтительнее, хотя внешность исключать нельзя.

В любом случае, фамилия Долгу — не про деньги или займы, а про человеческое качество: либо рост, либо надёжность.