Фамилия Долженкоа — нестандартный и, скорее всего, ошибочный вариант написания. Правильная литературная форма — Долженко. Ошибка возникает из-за путаницы с фамилиями на -ов (-ова), где окончание меняется по родам. В украинской модели, к которой принадлежит Долженко, фамилия не склоняется и не имеет женского окончания «а». Если вы встретили написание «Долженкоа» в документе, это, вероятно, описка или искажение при записи.

Сама фамилия Долженко образована по типичной украинской модели с суффиксом -енко. Этот суффикс — один из самых распространённых в украинской ономастике, он означает «сын» или «потомок» (как русское -ович). Первоначально Долженко — это «сын Долгого» или «потомок человека по прозвищу Долгий».

Основа фамилии — прозвище Долгий. В старину так могли назвать человека высокого роста («долгий» в значении «длинный»). Реже прозвище указывало на медлительность или обстоятельность в делах (долгий — тягучий, неторопливый). Есть и третья версия: в некоторых говорах «долгий» означало «должник», то есть человек, который взял в долг и долго не отдавал. Однако наиболее вероятное объяснение — указание на рост, так как это самая наглядная и распространённая причина для подобных прозвищ.

Фамилия Долженко бытует преимущественно в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков украинских переселенцев на Кубани и в Сибири. В России она встречается, но реже, и часто сохраняет украинское звучание. В отличие от фамилий на -ин или -ов, которые указывали на принадлежность помещику или конкретному роду, фамилии на -енко в массе своей были фамилиями казаков, крестьян и мещан — свободного сословия, где ценилась личная характеристика человека, а не его земельная зависимость.

Таким образом, если ваша фамилия Долженко (а не Долженкоа), её носитель — потомок человека, которого в XVI–XVII веках прозвали Долгим, скорее всего за высокий рост. Это типичная украинская фамилия, распространённая в среде казачества и крестьянства.