Фамилия Домнинская — это женская форма фамилии Домнинский, и её происхождение стоит искать в географии или в имени. Чаще всего такие фамилии на -ский указывают на связь с местностью: владельческую усадьбу, село или городок. В основе могло лежать название населённого пункта Домнино или Домнинское, а такие топонимы встречаются в центральной России, например в Костромской и Ярославской областях.

Второй, не менее вероятный путь — от церковного имени Домнин (каноническая форма — Домн, от латинского dominus — «господин, хозяин»). В святцах известны святые Домн и Домнина, так что фамилия могла возникнуть как «сын Домнина» или «из рода Домнина». Суффикс -ск- здесь типичен для дворянских или духовных фамилий, которые образовывались по модели «чей?» или «откуда?». В крестьянской среде такие фамилии чаще давали по названию деревни, где жила семья.

Стоит отметить, что фамилия Домнинская — редкая. Она не входит в списки самых распространённых русских фамилий, и её носители, скорее всего, происходят из одного-двух локальных гнёзд. Если ваши предки — из Костромской губернии или с северо-востока, связь с топонимом Домнино особенно правдоподобна: там есть знаменитое село Домнино, вотчина бояр Шереметевых, где родился Иван Сусанин. Впрочем, прямое родство с боярским родом здесь маловероятно: фамилия Домнинская могла появиться у крестьян, приписанных к этому селу, или у священников, служивших в местном храме.

В написании фамилии возможны варианты с одной «н» (Доминская), но именно двойная «н» указывает на притяжательный оттенок («принадлежащий Домнину»). В любом случае, перед нами фамилия, которая чётко выдаёт свою основу — будь то личное имя или географическое название.