Фамилия Дрико — редкий случай, когда географический корень почти наверняка перевешивает прозвищный. Скорее всего, перед нами не славянская, а греческая или южнославянская фамилия, попавшая в русский обиход через греческие общины Причерноморья или через балканские миграции XIX века.

Основа «Дри-» восходит к греческому «δρίκος» (дрикос) — «поросёнок», «свинья». В греческом это слово могло быть прозвищем для человека с грубоватым нравом, неопрятного или, наоборот, — по контрасту — для зажиточного крестьянина, державшего много скота. Суффикс «-ко» здесь не уменьшительный в привычном малороссийском смысле, а скорее фамильный формант, характерный для украинских и белорусских фамилий, но в данном случае он мог «приклеиться» к греческой основе при русификации: Дрико — это не «маленький Дри», а «потомок (или человек) по прозвищу Дрикос».

Версия о происхождении от славянского глагола «дрикать» (дрожать, трястись) или от диалектного «дрига» (нога) маловероятна. В говорах такое слово действительно встречается, но фамилии на «-ико» с таким корнем почти не фиксируются. Греческая этимология объясняет и редкость фамилии: Дрико встречается в основном на юге России, в Краснодарском крае, в Крыму и в украинском Приазовье — там, где с XIX века селились греки-понтийцы.

Ономастические справочники обходят эту фамилию молчанием. В словаре Б. Унбегауна она не упомянута, что косвенно подтверждает её неисконно русский характер. Если ваши предки носили Дрико, скорее всего, они были выходцами из греческих колоний или из болгарских земель (в болгарском есть слово «дрикам» — «трясу», но там фамилия звучала бы как Дриков). Крестьянское или ремесленное сословие — наиболее вероятный социальный фон.