Фамилия Дробяцкая — почти наверняка польского или западнорусского происхождения, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -цкая (в мужском варианте -цкий) — это типичный польский суффикс принадлежности, указывающий на связь с местом. Такие фамилии образовывались от названий населённых пунктов: село, местечко или усадьба, владельцем или уроженцем которой был предок. По-польски это звучало бы как Drobicka или Drobecka, а в русской передаче закрепилось написание через «я» — Дробяцкая.

Основа «Дроб-» ведёт к двум разным, но одинаково вероятным корням. Первый — польское drobny, то есть «мелкий», «дробный». В этом случае фамилия могла произойти от прозвища Дроба (человек невысокого роста, или же тот, кто торговал мелким товаром, или кто был дотошным, въедливым — «дробящим» каждую мелочь). Второй корень — от названия профессии: «дробярь» или «дробитель» — ремесленник, который дробил руду, камень или зерно. На западе современных Украины и Беларуси, где польское влияние было сильным, такие прозвища легко превращались в фамилии на -цкий.

Географически фамилия Дробяцкая тяготеет к бывшим землям Речи Посполитой: в первую очередь к Гродненской, Виленской, Минской губерниям, а также к Волыни. В современной России она встречается редко, чаще — в Беларуси и на востоке Польши. В польских метриках XVII–XVIII веков можно найти шляхтичей с фамилией Drobicki — это указывает, что носители могли относиться к мелкопоместной шляхте, владевшей фольварком Дробице или похожим.

В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ев, которые образуются от имени отца, модель на -цкий указывает на сословную или территориальную принадлежность. Поэтому предок Дробяцкой, скорее всего, был не крестьянином, а либо шляхтичем, либо человеком, получившим фамилию по месту жительства — выходцем из деревни Дробицы, Дробово или Дробин. Точное название не сохранилось, но в Польше до сих пор есть несколько сёл с корнем Drob- (Дробин, Дробице).

Единственное, чего не стоит делать — искать в этой фамилии связь с русским глаголом «дробить» в смысле «бить, разбивать». Семантика та же, но путь образования чисто польский, через топоним или прозвище, а не через прямое действие.