Фамилия Дробяско — украинская по происхождению, и её разговорная, «домашняя» форма выдаёт это сразу. Суффикс -ко (в исходном написании -ко) в украинской ономастике — один из самых распространённых. Он образует фамилии от прозвищ, имён и названий профессий, придавая им оттенок принадлежности или уменьшительности: Дробяско буквально значит «сын (или потомок) Дробяка», «маленький Дробяк». Основа же — «дроб-» — ведёт нас к прозвищу Дробяк или Дробь.

Самый прямой и правдоподобный вариант происхождения — от слова «дробить». Прозвище Дробяк могли дать человеку, который занимался дроблением чего-либо: зерна на крупорушке, руды на мельнице, камня. В украинских говорах «дробити» — также «мелко резать, крошить», поэтому прозвище могло относиться к ремесленнику (мельнику, толчее) или к человеку с соответствующей походкой или манерой речи — «дробному», то есть частому, отрывистому. Встречается и иная, более редкая версия: связь с диалектным «дроба» — мелкая рыба, малёк. Тогда прозвище могли дать невысокому или щуплому человеку.

Написание фамилии через «я» (Дробяско) — это результат адаптации украинской формы в русском языке. В украинском языке под ударением после мягкого согласного звук передаётся буквой «я», что и закрепилось. По сословной принадлежности носители фамилии чаще всего были крестьянами или казаками — в реестрах Войска Запорожского встречаются похожие прозвища, но точных сведений о конкретном Дробяско нет.

В целом, Дробяско — типичная украинская фамилия, образованная от прозвища по роду занятий или внешности. Её корень прозрачен, а суффикс указывает на южное или юго-восточное происхождение предков.