Фамилия Дробязко образована от прозвища Дробяз. Скорее всего, оно происходит от белорусского слова «дробязь» - «пустячок, мелочь, безделица». Таким образом, Дробязом могли называть легкомысленного, либо малорослого человека. Согласно другой версии, в основе этой фамилии лежит украинское слово «дробята» - «овцы». В этом случае прозвище Дробяз мог получить пастух. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Дробяз, со временем получил фамилию Дробязко.