Фамилия Дробязко — типичный пример восточнославянской фамилии, образованной от прозвища с помощью уменьшительного суффикса -ко. Эта модель особенно распространена в украинской и белорусской ономастике: суффикс -ко не столько указывал на родство, сколько закреплял прозвище за человеком, а затем и за его потомством.

В основе фамилии лежит прозвище Дробяз. Самая прямая версия связывает его с белорусским словом «дробязь» — «пустячок, мелочь, безделица». В таком случае Дробязом могли назвать человека несерьёзного, легкомысленного или же малорослого, щуплого. Прозвища по внешним или поведенческим признакам — один из древнейших пластов русских, украинских и белорусских фамилий.

Есть и вторая, более редкая версия — от украинского «дробята» (овцы). Если принять её, то прозвище Дробяз мог получить пастух, а фамилия указывала бы на род занятий предка. Такая гипотеза менее распространена, но ономастика знает немало фамилий, образованных от названий домашних животных и связанных с ними профессий.

Фамилия Дробязко встречается преимущественно в южных и западных регионах России, а также на Украине и в Беларуси — что полностью согласуется с географией суффикса -ко. Носители фамилии, как правило, выходцы из крестьянской или казачьей среды, где прозвища были особенно живучи и часто переходили в фамилии без изменений.