Фамилия Дробязго — редкий пример, когда географию происхождения можно определить почти безошибочно. Характерный суффикс -го выдает украинское или белорусское происхождение: в этих языках так застывали прозвища в родительном падеже (сравните: Дробязго — «из рода Дробязя»). В русском языке такая модель почти не встречается, поэтому корни фамилии стоит искать к западу от Москвы.

В основе фамилии лежит прозвище Дробяз. Самая прямая версия отсылает к белорусскому слову «дробязь» — мелочь, пустяк, безделица. Дробязом могли назвать человека легкомысленного, несерьезного либо, наоборот, очень маленького роста — «мелкого» в прямом смысле. Есть и альтернативное объяснение: украинское «дробята» означает «овцы». Тогда прозвище Дробяз мог получить пастух, чья работа была неразрывно связана с отарой.

Словообразовательная модель здесь необычна для русских фамилий. Если бы фамилия оформлялась по великорусскому образцу, мы бы увидели Дробязов или Дробягин. Суффикс -го — это застывшее окончание родительного падежа единственного числа, типичное для украинских и белорусских прозвищных фамилий (Толстого, Шевченко — но там другая модель). Такие фамилии не склоняются, и Дробязго — как раз такой случай.

Поскольку прозвище закрепилось в документах как наследственное имя, со временем оно полностью вытеснило первоначальное крестильное имя предка. Сейчас фамилия встречается крайне редко, что подтверждает её локальное, «гнездовое» происхождение: скорее всего, все носители Дробязго — потомки одной семьи из небольшого региона на стыке современных Беларуси и Украины.