Фамилия Дробязова — женская форма, а мужская, Дробязов, образована по самой распространенной в русском языке модели: от основы прозвища или имени с помощью суффикса -ов. Суффикс указывает на принадлежность: Дробязов буквально значит «сын Дробяза» или «человек из семьи Дробяза». Основа фамилии — прозвище Дробяз.

Значение прозвища Дробяз неочевидно и может быть связано с разными корнями. Самая прямая версия — от глагола «дробить». В этом случае Дробязом могли назвать человека, занятого дроблением чего-либо: камня, руды, зерна. Например, на Урале и в Сибири «дробязом» в XIX веке называли рабочего на золотых приисках, который дробил породу. Фамилия могла закрепиться за потомками такого мастера — камнедробильщика или мельника, толкущего зерно.

Менее очевидная, но возможная версия — от слова «дробь» в значении «мелкие частицы, мелочь». Прозвище Дробяз могли дать человеку мелкого телосложения, низкорослому, или же тому, кто торговал мелочным товаром — дробью, семечками, мелкими вещами. В некоторых говорах «дробяз» означало «мелкий дождик», и прозвище могло достаться человеку с тихим, негромким голосом или неторопливым характером.

Встречается и версия, связывающая фамилию с диалектным словом «дробь» в значении «лестница» (от «дробина» — ступенька). Тогда прозвище Дробяз могло относиться к плотнику, строителю лестниц, или к человеку, жившему на верхнем этаже. Но эта трактовка редка и менее убедительна, чем профессиональная или описательная.

Фамилия Дробязова — редкая. Встречается в основном в центральных и южных регионах России, а также на Урале, что подтверждает связь с горнозаводским делом. Поскольку фамилия недворянская и не попала в родословные книги знати, ее носители, скорее всего, происходили из крестьян, ремесленников или мастеровых — людей, чье прозвище точно описывало их занятие или внешность.