Фамилия Дробжева — женская форма, а мужская — Дробжев. В её основе лежит прозвище Дробжа, которое, скорее всего, связано с украинским глаголом «дробити» — дробить, разбивать, крошить на мелкие части. Такое прозвище мог получить человек, занимавшийся дроблением чего-либо: например, камня на щебень, зерна в ступе или руды. Не исключено, что прозвище относилось к ремесленнику — камнедробильщику или мельнику.

Менее вероятная, но тоже возможная версия отсылает к слову «дроба». В старых говорах у него было несколько значений: так называли и квасную или пивную гущу (остатки после спуска сусла), и виноградные выжимки, и простую конную телегу с решётчатыми бортами, а также мелкий скот или дворовую птицу. Если прозвище пошло от «дробы», то предок мог быть либо пивоваром, либо крестьянином, пользовавшимся определённым типом повозки, либо содержателем домашней птицы.

Фамилия образована по стандартной восточнославянской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основам на мягкий согласный или шипящий (в данном случае — к «жа»). Суффикс указывал на принадлежность: «сын Дробжи» или «человек из семьи Дробжи». Со временем фамилия закрепилась за потомками и перестала зависеть от прямого занятия предка.

Стоит обратить внимание на географию: фамилия Дробжев (и Дробжева) встречается преимущественно в южнорусских и украинских регионах, что подтверждает связь с украинским корнем. В центральных и северных областях России она редка, там больше распространены однокоренные фамилии вроде Дробов, Дробин или Дробягин, образованные от тех же основ, но с другими суффиксами.

Таким образом, фамилия Дробжева — это наследное прозвание, которое с высокой долей вероятности указывает на занятие предка: дробление твёрдых материалов или, реже, работу с «дробой» — гущей, выжимками или телегой. Выбор между версиями зависит от конкретной семейной истории, но первая, «ремесленная», выглядит более логичной и распространённой.