Фамилия Друму — редкий случай, когда основа слова не поддаётся однозначной славянской этимологии. В русском языке нет корня «друм-» с понятным лексическим значением, поэтому искать происхождение стоит за пределами восточнославянской ономастики. Скорее всего, перед нами фамилия, принесённая в Россию переселенцами или возникшая в результате транслитерации иностранной фамилии.

Наиболее вероятная версия связывает Друму с молдавским или румынским словом «drum» — дорога, путь. В румынском языке это слово заимствовано из славянских языков (ср. болг. «друм»), но в качестве фамилии оно могло закрепиться именно в среде молдавских крестьян или ремесленников. Окончание «-у» характерно для румынских и молдавских фамилий (ср. Долгу, Кодряну), где оно часто указывает на родительный падеж или принадлежность. Таким образом, Друму могло означать «дорожный», «придорожный» или «сын того, кто живёт у дороги» — прозвище по месту жительства или роду занятий (ямщик, проводник).

Существует и другая, более экзотическая гипотеза: фамилия может быть греческой. В греческом языке слово «δρόμος» (дромос) означает «бег», «путь», «стадион». Фамилия Друму могла возникнуть как сокращённая форма от более длинной греческой фамилии (например, Друмулис) или как прозвище скорохода, гонца. Однако для России греческий след менее типичен, чем молдавский, хотя в южных регионах (Причерноморье, Крым) такие варианты встречаются.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия стоит особняком: в ней нет привычных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это говорит о том, что её носители вряд ли принадлежали к коренному великорусскому крестьянству или дворянству. Чаще всего обладатели фамилии Друму встречаются в Молдове, на юго-западе Украины (бывшая Бессарабия) и в прилегающих областях России. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в среде молдавских или румынских переселенцев, возможно, связанных с извозом, торговлей или проживанием вдоль больших трактов.