Фамилия Дружбацкий — редкий случай, когда корень прозрачен, а суффикс ставит в тупик. Основа «дружб-» отсылает к слову «дружба», но вот как именно из этого образовали фамилию — вопрос. В русской ономастике фамилии на -цкий обычно происходят от географических названий (сел, урочищ) или от прозвищ с суффиксом -ец, к которым потом добавили -ский. Здесь же мы видим нечто иное: суффикс -ацкий встречается редко и чаще указывает на принадлежность к чему-либо через форму прилагательного. Скорее всего, перед нами не типичная дворянская фамилия, а позднее образование, которое могло возникнуть в среде духовенства или мещанства.

Вероятнее всего, Дружбацкий — это семинарская фамилия. В духовных училищах и семинариях XVIII–XIX веков ученикам часто давали искусственные фамилии по добродетелям, праздникам или отвлечённым понятиям. «Дружба» — как раз такое понятие, а суффикс -цкий придавал ей форму, напоминающую польские или малороссийские фамилии, которые в ту пору считались более благозвучными. Прямых аналогов вроде «Дружбин» или «Дружков» много, но именно форма на -ацкий — редкость, что выдаёт книжное, а не народное происхождение.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с прозвищем «Дружба» или «Дружбак». В говорах «дружба» означало не только близкого человека, но и свадебного чина — дружку, который распоряжался на свадьбе. Если предок был свадебным дружкой, его могли прозвать Дружбаком (с суффиксом -ак, характерным для прозвищ), а потом фамилия преобразовалась в Дружбацкий через добавление -ский. Но это уже цепочка, которая не подтверждается массовыми записями: фамилия слишком редкая, чтобы проследить её географию.

Ещё один нюанс — написание. В старых документах (например, в метрических книгах XIX века) могли писать «Дружбацкій» с твёрдым знаком на конце, что типично для дореволюционной орфографии. Но от этого корень не меняется. Интересно, что однокоренные фамилии — Дружбин, Дружков — встречаются гораздо чаще, а Дружбацкий остаётся штучным вариантом. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из духовного сословия или из среды, где фамилии давали «по случаю», а не по месту жительства.